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量子相对信息熵及其半正定优化

2018-03-21 12:52:37 电力信息与通信技术
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在多用户通信条件下,采用相对信息熵来计算信道容量。量子通信的多光子纠缠态,也可以借用量子相对熵对容量进行计算。文章对量子相对熵的定义、方程和性质进行了讨论;在量子纠缠态下,给出了通过量子相对熵计算信道容量的公式,并采用半正定规划法计算了纠缠辅助信道、退相干信道的

0 引言

量子力学与信息理论是上个世纪最重要的科学发现之一。虽然这两个领域最初是分开研究的,但它们实际上是密切相关的[1]。在本文中,将传统的信息理论扩展到量子信息理论领域,并探索量子纠缠、退相干等效应所施加的限制[2],这不同于经典力学对信息存储和传输的限制[3],因为从相对熵的一个关键属性逻辑上来看[4],本文研究中的许多关键结果的推导,与“通常”表述方法需要进行区分。量子通信可以通过使用相对信息熵理论,计算量子退相干多用户信道的容量,并可以通过凸优化计算最大信道容量的范围[5]。另外,本文还讨论了量子信息熵理论的热力学[6]和量子测量的物理意义。

针对电力通信信道实时连续的情况,本文给出了基于Lebesgue积分的绝对连续的量子相对熵概率测度,并用其密度来标识。对于概率测度,可以引入相对熵和Fisher信息的定义与相互关系。在信息理论、概率和统计学中这些结论都能起到重要作用[7]

本文在涉及相对熵函数的量子信息理论中研究各种凸优化问题[8-9],通过使用半正定规划算法求出问题的近似解[10-11]。特别地,使用这种方法来获得关于量子条件互信息与相对熵拟下限的数值[12-13]

 1 量子相对熵

此处简要介绍量子相对熵的定义及其主要性质,文献[14]给出了下述定理和性质的证明,本文不再给出详细证明。

1.1 冯诺依曼熵

定义1.1 冯诺依曼熵ρ∈Q(H )定义如下:

 

式中,p为概率函数。若ρ的谱可以基于正交基{|φa〉}a∈A分解为ρ=∑ρ(a)|φa〉 〈φa|,则冯诺依曼熵退化为香农熵p。

冯诺依曼熵有2个性质,其证明见文献[14]。

定理1.1 令ρ为互正交的密度算子,则冯诺依曼
  ,满足:

 

定理1.2 记混合状态向量为

|ψ〉∈HA  

1.2 量子相对熵及其正定性

定义1.2 令ρ,σ∈Q(H),ρ到σ的量子相对信息熵定义为:

 HB上给定ρAB,有:

 

上式称为Klein不等式,等号成立的条件为当且仅当ρ=σ。

定理1.4 冯诺依曼熵的次可加性。令ρ∈Q(HA  

其中等号成立的条件为当且仅当ρABA  

上式称为Uhlmann不等式。

推论1.1 令ρABAB∈Q(HA  

推论1.2 令ε:L(H)→L(H′)在完全正定和酉保迹映射下满足ε(I)=I,ε:L(H)→L(H′),其中I为H上的单位元,则冯诺依曼熵不递减:

 HB  

 2 相对信息熵的积分表示

例如在电力系统中的信息是实时、连续的,用积分对相对信息熵进行定义,采用Lebesgue测度来定义绝对连续的实数域Rn的熵,用f(x)表其概率密度,并引入熵S(f)和Fisher信息J(f)。

定义2.1 f为Rn上的概率测度,微分熵定义为[15]

 

当Rn上的随机变量X有可微密度f,同样可记为J(X)=J(f)。

定义2.2 f对于g的相对熵D(f||g)定义为:

 

该值也是非负数值,当随机变量X和Y分别具有密度f和g时,X相对于Y的相对熵和相对Fisher信息分别定义为D(X||Y)=D(f||g)和J(X||Y)=J(f||g)。

引理2.1 令f<<g是具有有限Fisher信息J(f)<∞和J(g)<∞在Rn上的概率测度,以及有限相对熵D(f||g)<∞,然后得到:

 

证明:对上述引理和定理简要证明如下。首先当t>0时,Fisher信息J(ft)和J(gt)有限,且随机变量XZ的均值为0,方差为In。对于  

其中J(Z)=n,且方程D(ft||gt)是非递增的,则:

 

将上式带入式则得到引理结论。因为当t→∞

时, 

带入即可得到定理的结论。

 3 量子相对熵的半正定优化

3.1 纠缠辅助信道容量

在前面两节对离散和连续情况下量子相对熵的定义和计算方法,可以进一步定义量子信道容量,并采用凸优化算法得到最大容量。考虑量子信道,具有输入A和输出B, Cea表示为纠缠辅助经典信道的能力。如果允许发射机和接收机共享任意纠缠状态,可以通过信道可靠地传输的经典比特量。记密度集合A算子D(A),量子通道的纠缠辅助经典能力具有简单的最大化表达式:

 E,即对于任意算子X,信道可表示为ψ(X)=tr[UXU*],信道互信息量可定义为:

 

由于H(B|E)和H(B)在σ=UρU*上是凹的,因此在ρ上S(ρ||ψ)是凹的。

图1 纠缠辅助经典振幅阻尼信道容量Fig.1 The entanglement assisted classical amplitude damping channel capacity

考虑振幅阻尼信道,信干比记为γ,计算纠缠辅助状态下振幅阻尼信道的容量,纠缠辅助经典振幅阻尼信道容量如图1所示。

3.2 量子退相干信道容量

量子信道的(无辅助)量子容量Q(ψ)是能够可靠地在信道ψ传输的量子比特数量(量子位),可表示为:

 

上述定义中,ψc表示信道ψ的互补信道。若ψ为环境E下由A到B的信道,其对等映射表示为ψc:L(A)→L(B)、U:A→B  

在退相干信道下,如果存在信道ε:L(B)→L(E′)且E′E,则有ψc=ε°ψ。若信道退相干,可以忽略式的极限条件,在ρ中SC是凹的。这种情况下,假设ψc=ε°ψ且令W:B→E′  

图2 振幅阻尼受限量子信道容量Fig.2 Amplitude damping confined quantum channel capacity

由于条件熵是凹的,  是凹的。图2为采用半正定规划算法计算的不同信干比条件下,量子退相干信道的容量。

3.3 纠缠态相对熵

状态x和x可分离的凸集定义为:

 B)中的两分状态ρ,纠缠态下相对熵从ρ到S的距离定义为:

 

同样可以定义半正定规划的k次分割距离R(k)(ρ)。

3.4 可恢复的相对熵和条件相互信息

考虑一个三方状态ρABC在希尔伯特空间A  C上的定义,给定B的A和C的条件相互信息定义为:

 

这里ψ是量子信道,对应作用于B上的三元组。

图3Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy " style="box-sizing: border-box; color: rgb(43, 43, 43); text-decoration-line: none;">图3 互信息熵与相对熵的比较Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy

 4 结语

本文论述了量子相对信息熵的定义,及其在实时连续系统中与Fisher信息量的关系,最后通过半正定规划法计算了量子纠缠辅助信道、量子退相干信道的容量,以及互信息熵与相对熵不等式的数值验证,以上结论可以用于实时或离散量子通信系统的容量计算。

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